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しばけん（管理者）

2024/04/21/18:20

>>2
このスレは自動レス機能がないんだった。
手元のGPT-4で試したら、こういう回答が返ってきました。フーリエの方法ですね。

ネイピア数$e$が無理数であることを証明する一つの方法は、ネイピア数 $e$ を無限級数で表し、それを有理数であると仮定した場合に矛盾が生じることを示す方法です。以下にその証明を示します。ネイピア数 $e$は次の無限級数で表されます：
$$e = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dotsb$$
ここで、$e$ が有理数であると仮定します。つまり、ある正の整数 $ a $ と $ b $ に対して $ e = \frac{a}{b} $ と表せるとします。次に、この等式に $ b! $（$ b $ の階乗）を掛けて、$$b! \cdot e = b! \cdot \frac{a}{b} = a \cdot \frac{b!}{b}$$ここで、$ \frac{b!}{b} = (b-1)! $ と簡単にできるため、上式は次のようになります：$$b! \cdot e = a \cdot (b-1)!$$また、$e$ の無限級数の表現を使って、$b! \cdot e $ を展開すると、$$b! \cdot e = b! \cdot \left(1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \dotsb + \frac{1}{b!} + \frac{1}{(b+1)!} + \dotsb \right)$$この式は整数部分と非整数部分に分けることができ、整数部分（$ b $ 番目の項までの和）は整数です。非整数部分（$ b+1 $ 番目の項からの和）は次のように表されます：
$$b! \cdot \left(\frac{1}{(b+1)!} + \frac{1}{(b+2)!} + \dotsb\right) = \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)(b+2)} + \dotsb$$
この和は 0 にはならず、1 よりも小さな正の実数になります。従って、$b! \cdot e$ は整数でなくなります。これは、$b! \cdot e = a \cdot (b-1)!$ が整数であるという仮定に矛盾します。したがって、$e$ が有理数であるという仮定は誤りであり、$e$ は無理数であると結論できます。

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しばけん（管理者）

2024/04/21/18:06

gpt-4さんに聞いてみよう。
ネイピア数が無理数であることを証明して。

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艮

2023/04/26/2:06

ワイ「ネイピア数が無理数であることを証明して」

chatGPT「ネイピア数(e)が無理数であることを証明するには、まずネイピア数が有理数であると仮定し、矛盾を導く必要があります。

つまり、eが有理数である場合、eを分数で表すことができます。すなわち、

e = a/b

ここで、aとbは互いに素な整数で、bは0ではありません。

次に、eの定義式を使って、eを無限級数で表すことができます。すなわち、

e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ...

この式の右辺は有限個の有理数の和で表されるため、有理数であることがわかります。

しかし、e = a/b と e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + 1/3! + 1/4! + ... の両方が成り立つため、次のように両辺を掛け合わせることができます。

a/b = (1/0!) × (1/1!) × (1/2!) × (1/3!) × (1/4!) × ...

右辺は無限に続く無理数の積であり、左辺は有理数です。しかし、無理数と有理数の積は必ず無理数になるため、これは矛盾しています。

したがって、ネイピア数(e)は無理数であることが証明されました。」

こいつのための数学教育を考えてくれ。中学生の浅知恵で解いた回答を見てる気分や。