| 12 | 零測度 | 2022/01/18/20:48 |
[1]
$(a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(bc+ca+ab)=1$ なので $a^2+b^2+c^2=13$ とあわせて$$bc+ca+ab=-6$$
$(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=2(a^2+b^2+c^2-(bc+ca+ab))=2(13+6)=38$
$x+y=(b-c)+(c-a)=b-a=-2\sqrt{5}$
$x^2+y^2=(b-c)^2+(c-a)^2=38-(a-b)^2=38-20=18$
$(x+y)^2-(x^2+y^2)=2xy=2(b-c)(c-a)=20-18=2\;\Rightarrow\;(b-c)(c-a)=1$
$$(a-b)(b-c)(c-a)=a-b=2\sqrt{5}$$
[2]
$$\tan{4^{\circ}}<\frac{\tan{16^{\circ}}}{100000/2500}=\frac{0.2867}{4}=0.071675\sim0.072<\tan{5^{\circ}}$$
[3]
点 $B$ を外接円周に沿って $A$ の対蹠点に移動しても $\angle\mathrm{∠ABC}$ は変わらない（円周角）ので $\sin\angle\mathrm{ABC}=\frac{\overline{\mathrm{AC}}}{\mathrm{diameter}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$
$\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{AB}}\sin\angle\mathrm{ABC}=\frac{10}{3}$
各辺の長さは直径を超えられないため $\overline{\mathrm{AB}}\le6$ かつ $\overline{\mathrm{AC}}\le6$ より $4\le\overline{\mathrm{AB}}\le6$
$$
\sin\angle\mathrm{ABC}=\frac{\overline{\mathrm{AC}}}{6}
\Rightarrow
\overline{\mathrm{AD}}=\overline{\mathrm{AB}}\sin\angle\mathrm{ABC}=\overline{\mathrm{AB}}\frac{\overline{\mathrm{AC}}}{6}=\overline{\mathrm{AB}}\frac{14-2\overline{\mathrm{AB}}}{6}=-\frac{1}{3}\overline{\mathrm{AB}}^{2}+\frac{7}{3}\overline{\mathrm{AB}}=-\frac{1}{3}\left[\overline{\mathrm{AB}}-\frac{7}{2}\right]^{2}+\frac{49}{12}
$$
$\overline{\mathrm{AB}}\ge4$ より $\overline{\mathrm{AB}}=4$ のときに最大値となり, $\overline{\mathrm{AD}}=\frac{-1+49}{12}=4$